Чуждая геометрия

Материал из Викитропов
Перейти к навигации Перейти к поиску
« Даже солнце на небе выглядело искажённым в миазмах, источаемых этой погружённой в море громадой, а угроза и опасность злобно притаилась в этих безумных, ускользающих углах резного камня, где второй взгляд ловил впадину на том месте, на котором первый обнаруживал выпуклость. »
— Говард Ф. Лавкрафт, «Зов Ктулху»

Что нужно сделать, чтобы создать фантастический мир, не похожий на нас? Побольше нечеловеческих рас, фантастических животных и растений, сказочных пейзажей? Придумать необычную историю и заменить скучные компьютеры и автомобили какой-нибудь панковой технологией? Накрыть всё это сверху чужеродным небом с зелёным Солнцем? Придумать для мира волшебные законы физики?

Берите выше. Точнее, глубже, потому что мы возьмёмся менять один из самых глубоких элементов сеттинга. Настолько глубокий, что большинство авторов о нём не задумываются вообще. А именно — поменять сами законы пространства. Встречайте — перед нами мир чуждой геометрии, где с виду параллельные прямые пересекаются, а сумма углов треугольника не равна 180 градусов. Как вариант, весь мир может быть устроен по законам привычной нам евклидовой геометрии, но какие-то чужеродные монстры, шизотехнические механизмы или древние артефакты могут искривлять пространство внутри и вокруг себя. Ещё один распространённый вариант — основная часть мира, в котором происходит большая часть событий, устроена по законам привычной нам геометрии, но помимо него в сеттинге есть какое-то параллельное пространство, устроенное по другим законам.

Пятиминутка матана

Что вообще подразумевается в данном случае? Геометрия оперирует во-первых, объектами вроде «точка», «прямая», «плоскость», «фигура». Во-вторых, определёнными отношениями между этими объектами вроде «пересекается», «параллельны», «принадлежит». В-третьих, численными величинами вроде «расстояния», «угла», «длины» (не то же самое, что расстояние!), «площади» и т. д. В любой геометрии все эти понятия связанны определёнными формулами и правилами. Евклидова геометрия устроена так, что её «расстояния», «углы» и т. д. достаточно хорошо соответствуют тому, что мы привыкли называть расстояниями, углами и т. п. на практике, в данном нам в ощущениях мире.

Итак, мир чуждой геометрии — это мир, где наблюдаемые на опыте расстояния, углы, площади и т. д. соответствуют не евклидовой, а какой-то другой геометрии.

Строго говоря, в математике геометрия не обязательно связанна с чем-то похожим на физическое пространство. Самый известный пример — добавление к пространственным измерениям временного, без чего невозможно вести расчёты в теории относительности. В принципе, такое дополнение вполне органично вписывается и в классическую механику, доставшуюся ещё со времён Ньютона. Наука знает и более оторванные от физического пространства примеры — например, пространство событий в теории вероятностей или пространство термодинамических координат в термодинамике. Некоторые наработки геометрии активно применяют и там.

Вообще, если у нас есть некая величина Y, которая зависит от множества других параметров x1, x2, …. xn, то на языке математики можно сказать, что функция y = f(x) образует график в (n+1)-мерном пространстве. А если у нас есть множество точек, каждая из которых соответствует набору чисел Y(y1, y2, … ym), и есть некоторая функция от пар этих точек g(Y1,Y2), которая удовлетворяет некоторым требованиям (вроде g(Y1,Y1) = 0 — расстояние от точки до самой себя равно нулю), то у нас задана функция расстояния на пространстве точек Y. Если эта функция отличается от евклидовой (которая квадратный корень от суммы квадратов разностей между каждой парой координат), и при этом соответствует тому, что в ощущениях воспринимается как расстояние, — то поздравляю, мир чуждой геометрии готов. Можно заселять эльфов и Ха-гуррлинов, и строить для них невозможные в нашем мире домики.

Наиболее очевидные способы реализации

  • Многомерное пространство. Пространство, где больше, или наоборот, меньше трёх измерений. Требуется воображение выше среднего, чтобы представлять, как оно будет «выглядеть».
    • Педаль в пол — бесконечномерный мир, где самих измерений бесконечно много. Причём бесконечномерное пространство — не теоретическая причуда математиков, а вполне практически используемая модель в функциональном анализе. Желающие выдавить педаль в бок могут рассмотреть мир внутри фрактала — пространство с дробным количеством измерений. Есть также математические модели с пространствами, количество измерений в которых в некотором смысле больше бесконечности, но это уже чисто теоретические модели.
  • Собственно, неевклидова метрика как таковая. Помимо широко известной геометрии Лобачевского, учёные разработали другие непротиворечивые геометрические системы, похожие на неё. Так, в геометрии Римана наоборот, любые две прямые всегда пересекаются. В аффинной геометрии вообще нет расстояний, зато есть «тройное отношение» — аналог расстояния, но существующий только для троек точек, а не для пары. В некоторых геометриях угол ведёт себя подобно расстоянию и может увеличиваться до бесконечности — например, минутная стрелка, идя по кругу и отдаляясь от часовой, никогда не приблизится снова, а расстояния между их концами будут расти до бесконечности. Требуется знание матана.
    • На практике двухмерные версии этих метрик можно наблюдать на кривых поверхностях. Например, порисовав прямые и отрезки на седловидной поверхности, можно на собственном опыте пронаблюдать геометрию Лобачевского. А геометрия на шаре (например, земном) схожа с геометрией Римана, что имеет большое значение для геодезии, картографии и навигации. Почему, к примеру, самолёты летают не по прямой, а по каким-то странным изогнутым линиям? Всё просто, это и есть прямые на сфере, которые выглядят кривыми в проекции на плоскую карту. Вот так-то, мы сами в какой-то степени живём в мире неевклидовой геометрии!
    • Трёхмерные версии любой из этих геометрий можно наблюдать в искривленном пространстве, например, в глубоком гравитационном колодце. Или в неглубоком, например, земном или солнечном — но в этом случае отличия от евклидовой геометрии будут ничтожно малы (отчего сам Евклид о них и не догадывался).
  • Чужеродная топология. Если идти в одну сторону, то в конце концов, вернёшься назад. Почему? Потому что этот мир закольцован! А если он закольцован как Лента Мёбиуса, то можешь вернуться «в зеркальном отображении» или ещё что похуже.
  • Дискретное пространство. На самом деле пространство состоит из маленьких кубиков или каких-то кусочков вроде мозаики. При этом они достаточно велики, чтобы быть заметны. Или факт дискретности имеет какие-то макроскопические последствия.
  • Фрагментальная геометрия. Пространство состоит из «кусков», в которых вроде всё нормально, но в целом, собрать их воедино в рамках евклидовой геометрии невозможно. Короче говоря, представьте, что вы ходите по большому лабиринту, состоящему из множества комнат. Пройти из одной комнаты в другую можно двумя коридорами — один длинный и прямой, а второй тоже прямой, но в разы короче. Или например, повернув трижды вправо в соседнюю квадратную комнату, вы не попадаете в исходную. Или нужно не три, а наоборот, пять или шесть таких поворотов. Что будет, если в таком доме пробить стену, или как этот лабиринт выглядит снаружи, и есть ли у него «снаружи» вообще — на фантазии автора.
  • Искривлённое пространство. Другой очевидный вариант — когда сокращаются или удлиняются сами расстояния между предметами и искажаются их формы. Если все предметы в некоторой местности разом сжимаются/растягиваются/перекручиваются и т. д., — то это равносильно сжатию/растяжению/скурчиванию и т. д. самого пространства.
  • Строго говоря, всевозможные порталы тоже относятся сюда.
  • Так называемые «невозможные фигуры». Если в сеттинге они оказываются возможны, причём не просто в виде рисунков, то это тоже сюда.
  • Случай, когда предмет внутри больше, чем снаружи. Заслуживает отдельного тропа.
  • Шутки с пространством-временем. Многие забывают, что время — это тоже измерение, а четырехмерное пространство-время тоже обладает своей геометрией. Что, если четвертое измерение мы лишим свойств времени и сделаем пространственным, по которому можно перемещаться в любом направлении? Привет, временные парадоксы! А если мы наделим свойствами времени какое-то другое измерение? Да ещё и определяемое не в декартовых координатах, например — радиальное в полярных? (по одной из теорий, именно такова метрика за горизонтом событий внутри черной дыры). Желающие поизвращаться углубиться могут подумать над миром с многомерным временем.
  • Ещё один вариант с педалью в пол — это мир, к которому геометрические понятия вообще неприменимы.

Стоит также отметить, что как тело человека и многих других живых существ, так и практически все созданные человеком предметы устроены с расчётом на то, что они будут функционировать в (почти) евклидовой трёхмерной геометрии. Потому при попытке перенести человека с привычным окружением в мир, геометрия которого сильно отличается от нашего, перетаскиваемое как минимум травмируется, сломается или ещё как-то пострадает или испортится, а как максимум просто не влезет.

  • Ну и нельзя забывать, что искривление пространства и гравитация — одно и то же, во всяком случае в нашем мире. Следовательно, если вам в реале (не)повезёт натолкнуться на неевклидово пространство, вы сразу же окажетесь в сильнейшем гравитационном градиенте, а последствия этого физики называют смешным, но страшным словом «спагеттификация».

Примеры

Литература

  • Произведения Мартина Гарднера, например, «Нульсторонний профессор» и «Остров пяти красок». На уровне «математики шутят».
  • Говард Лавкрафт тоже любил этот троп. Так, геометрия Р’льеха («Зов Ктулху») не только неевклидова, но и ещё меняется со временем, а в рассказе «Сны в ведьмином доме» сабж, обусловленный заколдованной комнатой, позволяет ведьме перемещаться в пространстве.
  • «Алиса в стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье» Льюиса Кэрролла — в первой книге сама Алиса то и дело меняет размер, а во второй перемещается по шахматно-зазеркальным правилам.
  • «Астронавты в лохмотьях» Боба Шоу — математик Лейн Маракайн рассказывает своему брату о том, что отношение длины окружности к её диаметру равно в точности трём (что, вместе с тем обстоятельством, что на двух руках у обитателей Мира 12 пальцев, делает геометрические вычисления очень простыми!) — и размышляет о возможности существования иных вселенных с другим набором физических и математических констант (где, в частности, отношение длины окружности к диаметру могло бы выражаться иррациональным числом).
  • «Божественная комедия» Данте Алигьери. Над шарообразной Землёй находится девять увеличивающихся небесных сфер, ещё над ними — девять уменьшающихся сфер, а сам Бог сидит на троне в центре этих сфер, на самой удалённой части пространства от Дьявола. Неужели Данте за века до этих ваших Риманов придумал мир на поверхности четырёхмерной сферы?
  • «Вторая тень» («The Double Shadow», «Двойная тень») Кларка Эштона Смита, 1933 — когда неосторожно призванный монстр приблизился к магу Аквиту, тот велел своему ученику и участнику ритуала призыва бежать, но тот не смог — как ни старался, но не вышел за пределы поместья мага, поскольку какая-то зловещая магия искривила само пространство.
  • «Дом, который построил Тил» Роберта Хайнлайна. А построил он его в виде развёрнутого тессеракта (четырёхмерного куба). Который внезапно свернулся из-за толчка землетрясения. В результате дом местами закольцевался — идёшь куда-то и приходишь с противоположной стороны. А в конце, после ещё одного толчка, дом вообще выпал из нашего мира, и хорошо, что при этом люди выпали из него.
  • «Лист Мёбиуса» А. Дейча — метро Бостона с топологической точки зрения и без того было крайне сложным. Но с открытием новой линии оно стало бесконечно связанным и разделилось на пространственную и внепространственную часть, в которой однажды исчез целый поезд вместе с людьми. Поезд потом два месяца никто не видел, но многие слышали шум от его движения, причём иногда одновременно на разных перегонах, пока не разобрались и не вернули, как было.
  • «Опрокинутый мир» Кристофера Приста. Специально для желающих познакомиться с геометрией Лобачевского.
  • «Роза Мира» Даниила Андреева, интересный пример многократного использования тропа. Многие слои имеют больше или меньше трёх пространственных измерений. И далеко не все из них имеют астрономические размеры — многие из них кончаются недалеко от Земли или простираются лишь в пределах солнечной системы.
    • При этом описание жителей двумерной Гашшарвы таково, что они как будто бы являются обычными трёхмерными существами. Обоснуй: Гашшарва на малых масштабах трёхмерна, а на больших — двумерна. Представьте себе огромный зал высотой несколько метров, но в длину и ширину имеющий астрономические размеры. Причём если начать копать его пол, то просто вылезешь сверху через потолок. Примерно так (а не в духе «плоский лист а ля Флатландия») может быть устроена Гашшарва. Что внезапно недалеко от современных представлений о дополнительных измерениях пространства.
    • Слои объединены в группы-сакуалы. А сакуалы — в брамфатуры. При этом перемещение между слоями в пределах одной сакуалы намного легче, чем между слоями разных сакуал. Иногда и сами слои могут перемещаться от одной сакуалы к другой. Плюс ещё некоторые слои могут пересекаться, что предполагает наличие какого-то «надпространства» над всеми этими слоями и сакуалами. Также каждая планета имеет свою брамфатуру, аналоги брамфатур есть у многих других объектов — от галактик до элементарных частиц.
    • Во многих слоях также время многомерно, но, судя по описаниям, это следует понимать не так, как понимают это физики, рассматривающие гипотетические многомерные временные миры. Если в некоем слое время имеет 10 измерений, то это не значит что тут время имеет 10 независимых координат, а значит, что тут как бы одновременно реализуется 10 разных возможных вариантов одного и того же события (то есть тут наличествует 10 одномерных нитей времени, а не 10-мерное временное пространство). Количество таких временных нитей в некоторых слоях Брамфатуры Шаданакара (Земля по-розамировски) превышает 200, в то время как на Энрофе (план бытия людей обыкновенных) равно 1.
  • «Стена Мрака» Артура Кларка. Планета, а точнее, её половинка, окружена Стеной. Главный герой сумел забраться на стену с целью пересечь её. В итоге, идя вперёд по стене, в конце концов просто вернулся назад.
  • «Флатландия» Эдвина Эбботта. Населена разумными двумерными фигурами. Вообще, очень хорошее описание того, как могла бы быть устроена Вселенная двумерных существ.
  • Юрий Петухов, которого фанаты называют русским Лавкрафтом, тоже любил этот троп. Многомерная свёрнутая Система Хархана и Планета Навей подтвердят. И даже на сравнительно обычной Гиргее есть бесконечно глубокая подводная пропасть. Впрочем, локально пространство там везде остаётся еквлидовым.

Изобразительное искусство

Мауриц Эшер. Водопад
  • Эталонный пример: Мауриц Эшер. У него были и фракталы, и невозможные фигуры, и «повёрнутая» тяжесть…

Мультфильмы

  • «В синем море, в белой пене…» — Морской Царь съедает плывущий у горизонта корабль просто потому, что тот далеко и маленький, а сам Царь — рядом и большой.

Мультсериалы

  • «Приключения Джеки Чана», эп. 2x16 «Храм лотоса» («The Lotus Temple») — внутреннее пространство заглавного храма. Лестницы и переходы, не всегда понятно, где верх и низ, где пол, а где стены. Впрочем, сам храм появляется только в ночи полнолуния, а с рассветом исчезает, так что это очень сильное колдунство.

Аниме, манга, ранобэ

  • Berserk — первая сцена появления Руки Бога, являющаяся отсылкой на творчество Маурица Эшера, как раз специализировавшегося на картинах с мозголомной геометрией.
  • Cardcaptor Sakura — Одна из карт зациклила улицу.
  • Evangelion — тот случай, когда нормальную геометрию ломают отдельные монстры. Ангел Рамиил в Ребилде выглядит как многомерный объект, пересекающийся с нашим трёхмерным миром. Ангел Лелиил — настоящий вывих мозга, хотя на первый взгляд выглядит как обычная сфера. Зеруил из Ребилда тоже.
  • Flip Flappers — Чистая Иллюзия. Всё, правда, в основном сводится к чудесам с масштабами и порталами на каждом углу.

Настольные игры

  • Поле нередко закольцовывают в трубу, тор или что-то поинтереснее (Marrakech). Одна из игр даже называется КТОР — клеточный тор.
  • Warhammer Fantasy Battles — В северных пустошах от обилия магических флюидов изменяется даже сама геометрия.
  • Warhammer 40,000 — Миры Хаоса и Варп именно такие.
    • Люди тоже могут: тяжёлые крейсера класса «Гадес» были построены с использованием фрагментарной и аффинной геометрии, что даёт им преимущества при перемещении через Варп. Увы, позже оказалось, что такая безумная планировка подвергает экипаж порче Варпа, так что к сорок первому тысячелетию большая часть «Гадесов» обретается во флотах хаоситов. И да, в Империуме строить такие корабли способна только одна верфь, созданная незадолго до кибернетической революции.

Видеоигры

Общее

(линк)

Игра в четырёхмерном пространстве
  • Распространённый приём во многих играх: доходишь до края экрана — появляешься с противоположного края. Такая топология называется «цилиндр/труба», если замкнуты только две стороны, и «бублик/тор» — если все четыре. Наиболее этим известны ранние Final Fantasy и другие JRPG, а также аркада-платформер Mario Bros[1] (не Super). Последний уровень сложности в головоломке «Ветка» называется ТОРеро. А в отечественных мозголомных «Вангерах» тороидальные миры даже вписаны в лор.
  • Есть две технологии для псевдотрёхмерных стрелючек: двоичное разбиение (Doom) и порталы (Build). Второе позволяет хитро свернуть геометрию, и в Marathon (малоизвестной игре для Мака) есть сетевой уровень «5-D Space». В Duke Nukem 3D — уровни «Lunatic Fringe» (720-градусное «кольцо») и «Tier Drops» (входишь с четырёх разных сторон — получаешь разные комнаты, и плюс всё это пройдено авторами за десять секунд).
    • Да и более продвинутые игры используют порталы с другой целью: составлять линейный уровень из маленьких кусочков, чтобы он был мало-мальски редактируемым. Плейтест говорит, что нужно удлинить коридор — не нужно двигать пол-уровня и убеждаться, что ничего не попортили. В Portal II автоматика стыковала кусочки, если это возможно, и остался только один ящик, который внутри больше, чем снаружи. Игры-раннеры генерируют уровень из таких кусочков на лету, и можно сделать семь левых поворотов, и каждый раз оказаться в новом месте.
  • Разные четырёхмерные бродилки и головоломки. Существуют пяти- и более мерные, но они малопопулярны.
  • Головоломка в трёхмерном мире, где герой ходит по двухмерной проекции. Если в какой-то проекции мостики визуально соединяются, герой может пройти. Примеры: Echochrome, Fez, Monument Valley.
  • В аксонометрической[2] игре может попасться уровень в эшеровской геометрии, чтобы показать, что это особо магическое место. Делается просто: проходимый слой подразумевает одну геометрию, а поставленные для красоты колонны — другую. Приправляем всяким сюром. Примеры: Diablo II (Тайное святилище), Prince of Persia II: The Shadow and the Flame (финал — бой зачарованного Принца с Джафаром).
  • Разного рода ошибки и недоработки в движках и уровнях.
    • Несостыковки экранов: Vampire Killer — Castlevania для компьютеров MSX, из-за ограничений платформы ставшая нелинейной и поэкранной. Indiana Jones and the Infernal Machine — из-за ошибки в движке иногда выходишь из комнаты, и входишь в неё же.
    • Ошибки сферической геометрии. UFO первый — самолёты летают по локсодроме = линии постоянного азимута, и навигация возле полюсов — такой ещё геморрой. В открытом ремастере 2014 года исправлено — полёты идут по большому кругу (кратчайшей траектории на сфере).
    • Просто ошибки в псевдо-3D, когда и на невозможный объект не тянет, и в нашей геометрии невозможно. Например, горочка из кубиков, и подножие даёт одну форму, а вершина — другую. Профессионалы такого избегают, а вот у любителей без числа — так что без примеров.

Конкретные игры

  • Antichamber — вся игра про это. Комнаты одна «поверх» другой и многооборотные «кольца» — это только первые из задач.
  • Diablo II — один из уровней (Тайное святилище Хоразона) построен с использованием эшеровской геометрии где-то за пределами обычного пространства-времени. Герой, в зависимости от класса, может подсветить это при входе. (Волшебница: «This place actually distorts reality. Fascinating» «Это место действительно искажает реальность. Очаровательно».) В ремейке 2021 года есть возможность показать уровень в перспективе — именно для этого уровня перспектива отключена.
  • Relativity Wars — космическая RTS с плоской картой, искажённой возле гравитационных колодцев небесных тел.
  • Stanley Parable — хватает такого. Смотришь, например, на две небольшие стенки, а между ними оказывается большая комната. А в одной из «сюжетных веток» можно оказаться в буквальном затекстурье.
  • Warthogs, пародия на Гарри Поттера. Вообще так часто изображают Хогвартс; конкретно в этой игре — вообще невозможный объект.

Сетевой оригинальный контент

  • «Бета-тестеры» — технические области вирта и ещё недонастроенные вирт-пространства подпадают под троп. В «Коллекторе» «Покорителей забытых перекрёстков» болтается куча кусков сохранённых локаций, каждый — со своей силой тяжести, действующей локально только вокруг него. Соборы, бензоколонки, поезда летают в воздухе в произвольных позициях, как астероиды в космосе. Не созданная вирт-локация радует посетителей то бесконечными плоскостями, то поднимающимся из ниоткуда рельефом из однотонной массы, то шутками с относительными размерами творящего «админа» и местности. Внутренняя Монголия из «Эпохи химер» формально находится в трёх измерениях, но ландшафт имеет самый странный: тут и долины, внезапно обрывающиеся отвесными стенами пропастей, и гигантские песочные замки. А фактически география может зависеть от пути, небесных знамений или происходящих событий.

Реальная жизнь

  • В математике существует так называемая «аксиома выбора» — на первый взгляд, очевидное и безобидное утверждение, но пока вы не применяете её к несчётному множеству несчётных множеств. А если применяете — то можно например создать фигуру, не имеющую площади. Не имеющую вообще — ни нулевой, ни положительной, ни ещё какой-то другой (отрицательной, комплексной и т. д.), поскольку из предположения о наличии площади у этой фигуры легко выводится противоречие. Многие математики настолько впечатлились этим и подобными результатами, что предлагают выкинуть гадкую аксиому, и заменить её чем-то другим, пусть менее очевидным и более сложным, но не дающим таких последствий.
  • На астрономических расстояниях уровня скоплений галактик и выше геометрия действительно может серьёзно отличаться от евклидовой. Возле чёрных дыр тоже, а внутри — тем более.
  • Двигатель Алькубьерре и Труба Красникова. Способы преодолеть световой барьер основаны именно на возможности искривить пространство.
  • На грани субверсии — геометрия на поверхности земного шара и вообще любой планеты.
  • Теория струн предполагает, что на микроскопических расстояниях наше пространство является десятимерным. На настоящий момент является всего лишь предположением.
  • Субверсия, которая, тем не менее, немыслима без тропа — тессерактовые и тому подобные топологии компьютерных сетей.
  • Червоточины. На настоящий момент гипотетические объекты.

Примечания

  1. ↑ Там, впрочем, можно списать на то, что герой ходит вдоль стен цилиндра, который перед нами условно развёрнут.
  2. ↑ То есть 3D линейно спроецировано в 2D так, что все три оси разные и ненулевые, не обязательно изометрически или перпендикулярно.
Внешние ссылки
TV Tropes Alien Geometries
Источник — http://wikitropes.ru/w/index.php?title=Чуждая_геометрия&oldid=263817